Numerik von Maximum Entropie Momentenproblemen in der Texturanalyse

Abstract

Die numerisch effiziente Behandlung eines Maximum Entropie Momentenproblems, motiviert durch das Vorhaben die aus der Texturanalyse bekannte Kristallorientierungsverteilungsfunktion (codf) zu rekonstruieren, ist die zentrale Aufgabenstellung dieser Arbeit. Besonderheiten des betrachteten Momentenproblems sind die dabei auftretenden Momentenfunktionen, welche nach dem Satz von Peter und Weyl Darstellungsfunktionen aus den Äquivalenzklassen der endlich-dimensionalen, irreduziblen Darstellungen der kompakten topologischen Gruppe SO(3) entsprechen. Um das Maximum Entropie Momentenproblem numerisch effizient bearbeiten zu können, müssen die dafür mathematisch wichtigen Aufgabenstellungen wie beispielsweise die Frage nach effizienten Auswertemöglichkeiten dieser Darstellungsfunktionen oder jene nach der Integration über SO(3) bzw. den am besten zu verwendenden numerischen Verfahren für den Entropiemaximierungsprozess beantwortet werden.Als eine Möglichkeit an irreduziblen Darstellungen von SO(3) fällt die Wahl aus praktischen Gründen auf jene auf den Vektorräumen der irreduziblen Tensoren vom Rang r über dem R^3. Die Auswertung der zugehörigen Darstellungsfunktionen erfolgt dabei auf sehr effiziente Art und Weise durch die Verwendung der zu den irreduziblen Tensoren in isomorphem Zusammenhang stehenden homogenen, harmonischen Polynomen vom Grad r über R^3. Da die Darstellungsfunktionen bei der durchzuführenden Integration über SO(3) sehr oft ausgewertet werden müssen, muss neben der Auswertung der Darstellungsfunktionen auch die Integration auf numerisch effiziente Art und Weise durchgeführt werden. Unter Verwendung von Euler-Winkeln, und den sich aus der der codf zugrundeliegenden Kristallsymmetrie ergebenden Elementarregionen, lässt sich die mit Hilfe eines adaptiven Algorithmus nach Berntsen, Espelid und Genz durchgeführte Integration im numerischen Aufwand stark reduzieren. Zur Lösung des Optimierungsproblems, dessen Zielfunktion strikt konvex ist, werden abschließend Newton- und Quasi-Newton-Verfahren miteinander verglichen.