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Iterated rings of bounded elements and generalizations of Schmüdgen's theorem

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Iterierte Ringe beschränkter Elemente und Verallgemeinerungen des Satzes von Schmüdgen
Publikationstyp
Dissertation
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Zusammenfassung

We consider a commutative algebra over the reals
of finite transcendence degree.



We call an element of it (geometrically) bounded
if its square is bounded by a natural number on
the whole real spectrum. We call it arithmetically
bounded if the distance to the bound can even be
described by a sum of squares of elements.



In 1991, Schmüdgen proved in the case in which the
algebra is finitely generated: If every element
is geometrically bounded, then every element is
even arithmetically bounded. This implies
Schmüdgen's well-known Positivstellensatz which
is used in optimization.



In 1996, Becker and Powers considered the
decreasing chain of iterated rings of bounded
elements and showed that it becomes stable
at the latest after the iteration given by the
transcendence degree.



In 1998, Monnier related both results and
conjectured that this stable object contains
exactly the arithmetically bounded elements. We
prove this conjecture. An important application
is the following generalization of Schmüdgen's
Positivstellensatz: If an element is 'small at
infinity' and nonnegative, then it becomes a sum
of squares after adding an arbitrary small
positive real number.

Zusammenfassung in einer weiteren Sprache

Wir betrachten eine kommutative Algebra über den
reellen Zahlen von endlichem Transzendenzgrad.



Ein Element davon nennen wir (geometrisch)
beschränkt, wenn sein Quadrat auf dem gesamten
reellen Spektrum durch eine natürliche Zahl nach
oben beschränkt ist. Wir nennen es arithmetisch
beschränkt, wenn der Abstand zur Schranke sogar
durch eine Summe von Quadraten von Elementen
beschrieben werden kann.



1991 bewies Schmüdgen für den Fall, daß die
Algebra endlich erzeugt ist: Wenn jedes Element
geometrisch beschränkt ist, dann ist jedes
Element sogar arithmetisch beschränkt. Daraus
folgt dann Schmüdgens bekannter
Positivstellensatz, der in der Optimierung
angewendet wird.



1996 betrachteten Becker und Powers die
absteigende Kette iterierter Ringe von
beschränkten Elementen und bewiesen, daß diese
spätestens ab der durch den Transzendenzgrad
gegebenen Iteration stationär wird.



1998 brachte Monnier diese beiden Ergebnisse in
Zusammenhang und vermutete, daß dieses stationäre
Objekt genau die arithmetisch beschränkten
Elemente enthält. Wir beweisen diese Vermutung.
Eine wichtige Anwendung ist dann folgende
Verallgemeinerung von Schmüdgens
Positivstellensatz: Falls ein Element 'klein im
Unendlichen' und nichtnegativ ist, dann ist es
nach Addition einer noch so kleinen positiven
reellen Zahl eine Summe von Quadraten.

Fachgebiet (DDC)
510 Mathematik

Schlagwörter

Hilbertsches Problem 17, Positivstellensatz, Satz von Schmüdgen, Hilbert's 17th problem, Positivstellensatz, Schmüdgen's theorem

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Zitieren

ISO 690SCHWEIGHOFER, Markus, 2001. Iterated rings of bounded elements and generalizations of Schmüdgen's theorem [Dissertation]. Konstanz: University of Konstanz
BibTex
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April 15, 2002
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