Untersuchung der oberen Schranke für Sophie-Germain-Begleitprimzahlen

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich zunächst mit dem Ansatz von Sophie Germain zum Beweis des großen Satzes von Fermat, insbesondere wird hier der Satz von Sophie Germain ausführlich diskutiert und bewiesen. Die darin beschriebenen Zahlen werden im Rahmen der Arbeit als eigenständiges Objekt der Forschung aufgefasst und behandelt. In diesem Zusammenhang wird zum ersten Mal in der deutschsprachigen Literatur der Begriff der Sophie-Germain-Begleitprimzahl zu einer gegebenen Primzahl p eingeführt. Die Eigenschaften und die sich daraus ergebende allgemeine Gestalt der eingeführten Zahlen werden weitgehend untersucht. Es stellt sich zudem die Frage, ob für eine Primzahl p>2 unendlich viele Sophie-Germain-Begleitprimzahlen existieren. Die negative Antwort darauf liefern Dicksons Untersuchungen über die Fermat-Kongruenz. Der vollständige Beweis des Satzes von Dickson, aus dem eine obere Schranke für Sophie-Germain-Begleitprimzahlen folgt, ist ein weiterer wichtiger Teil der Arbeit. Die Untersuchung von Dicksons Schranke für Sophie-Germain-Begleitprimzahlen zu einem gegebenen p anhand einiger exemplarischer Berechnungen ergänzt die Arbeit. Das praktische Verfahren zur Bestimmung von Sophie-Germain-Begleitprimzahlen wird ebenfalls ausführlich diskutiert.Neben der systematischen Einführung in ein neu herausgearbeitetes Gebiet der Sophie-Germain-Begleitprimzahlen stellt die vorliegende Arbeit zudem erste experimentelle Ergebnisse vor und formuliert Fragestellungen für weiterführende Untersuchungen.