Solutions to the Multi-Dimensional Viscous Quantum Hydrodynamic Equations for Semiconductors

Abstract

In dieser Arbeit werden lokale Existenz des viskosen Modells der Quantenhydrodynamik aus Halbleitern für allgemeine Randbedingungen und exponentielles Abklingen globaler Lösungen des Modells mit periodischen Randbedingungen untersucht.Eine der entscheidenden Schwierigkeiten zum mathematischen Analysis besteht in den Termen mit den dritten Ableitungen, weil zum Beispiel Maximumprinzipien oder verwandte Techniken für Gleichungen von dritten Ordnung nicht zur Verfügung stehen.Zuerst untersucht man die lokale Existenz des isothermischen viskosen Systems. Die lokale Existenz des isothermischen viskosen Systems basiert auf der A-priori-Abschätzung des Hauptteils als parameter-elliptisches System gemischter Ordnung. Um die Abschätzungen zu bekommen, soll insbesondere die Lopatinskii-Shapiro-Bedingung überprüft werden. Außerdem ist das parameter-elliptische System gemischter Ordnung dann lösbar mit Hilfe der Galerkin-Approximation. Mit dem Hauptsatz für parameter-elliptische Randwertprobleme kann man zeigen, daß eine gleichmäßige Beschränkung der dritten Ableitungen existiert. Daraus folgt, daß es eine konvergente Teilfolge der Approximation-Lösungen gibt. Der Grenzwert der Teilfolge im geeigneten Sinne kann dann das isothermische viskose System lösen.Zunächst untersucht man die globale Existenz und das exponentielle Abklingen der lokalen Lösungen auf einem Torus. Die hauptsächlichen Schritte zum Beweis bestehen aus Umformulierungen, A-priori-Abschätzungen und Verwendung der "Continuity Arguments."Im letzten Teil der Dissertation analysiert man die lokale Existenz des nicht-isothermischen viskosen Systems. Hier benutzt man die Annahme, daß der Anfangswert der Stromdichte, der Gradient des Anfangswerts der Teilchendichte und Energiedichte genügend klein sind. In diesem Fall kann man eine gleichmäßige Beschränkung der Approximation-Lösungen des nicht-isothermischen viskosen Systems bekommen, mit der Hilfe von A-priori-Abschätzungen der Lösung der isothermischen Gleichungen. Eine weitere Analyse des Grenzwerts der entsprechenden Approximations-Lösungen bietet eine lokale Lösung. Für den nicht-isothermischen Fall stehen kaum analytische Erkenntnisse zur Verfügung. Der Nachweis der lokalen Existenz von Lösungen bei geeigneten Randbedingungen ist dann ein großer Fortschritt gegenüber der jetzigen Situation.