Parameterschätzung für ein linear-elastisches Kontaktproblem mit Hilfe Neuronaler Netze

Abstract

Unser Ziel ist es, zu einem linear-elastischem Kontaktproblem das Inverse-Problem mit Hilfe eines Neuronalen Netzes zu lösen. Um dies zu erreichen, behandeln wir zuerst eine theoretische und praktische Einführung in den Aufbau und das Training Neuronaler Netze. Die Möglichkeit, ein Neuronales Netz im Vorhinein zu trainieren, um später nur noch eine Berechnung des Netzes durchführen zu müssen, stellt eine enorme Beschleunigung dar. Diesen Effekt wollen wir unter anderem in dieser Arbeit nutzen. Wir möchten hierbei den Finite-Elemente-Löser, welcher viel Zeit benötigt approximieren, um dadurch die CPU-Zeit deutlich zu reduzieren. Einführend wird in Kapitel 2 der Arbeit das linear-elastische Kontaktproblem vorgestellt. Hierbei wird die schwache Formulierung dieses Problems eingeführt und dann mittels der Finite-Elemente Methode und des Nitsche Verfahrens approximiert. Dieser Teil geht aus einem Kooperationsprojekt der Universität Konstanz mit der EBZ Gruppe aus Ravensburg hervor. Anschließend werden in Kapitel 3 Neuronale Netze eingeführt. Hierbei wird eine Definition und der Ablauf eines Trainings geliefert. Im praktischen Teil wird dann ein Neuronales Netz mit den Lösungen des oben genannten linear-elastischen Kontaktproblems trainiert und die Ergebnisse werden validiert. Im Kapitel 4 beschäftigen wir uns mit dem Lösen des Inversen-Problems. Wir möchten also spezielle Parameter für ein gegebenes Ergebnis finden. Hierbei führen wir eine Kostenfunktion ein, welche nicht wie üblich den Finite-Elemente-Löser des linear- elastischen Kontaktproblems beinhaltet, sondern nur das fertig trainierte Neuronale Netz. Für das Lösen setzen wir das Verfahren des steilsten Abstiegs ein. Eine mögliche Berechnung des Gradienten der Kostenfunktion, welcher vom Gradienten des Neuronalen Netzes abhängt, wird mit Beweis angegeben. Im praktischen Teil wenden wir das Verfahren auf zwei Beispiele an und validieren die Ergebnisse. Durch die Verwendung des Neuronalen Netzes wird die benötigete Zeit drastisch verringert.