Solutions to the Multi-Dimensional Viscous Quantum Hydrodynamic Equations for Semiconductors

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Datum
2009
Autor:innen
Liu, Qingzhe
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Open Access-Veröffentlichung
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Lösungen zu dem viskosen Modell der Quantenhydrodynamik für Halbleiter
Forschungsvorhaben
Organisationseinheiten
Zeitschriftenheft
Publikationstyp
Dissertation
Publikationsstatus
Published
Erschienen in
Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden lokale Existenz des viskosen Modells der Quantenhydrodynamik aus Halbleitern für allgemeine Randbedingungen und exponentielles Abklingen globaler Lösungen des Modells mit periodischen Randbedingungen untersucht.
Eine der entscheidenden Schwierigkeiten zum mathematischen Analysis besteht in den Termen mit den dritten Ableitungen, weil zum Beispiel Maximumprinzipien oder verwandte Techniken für Gleichungen von dritten Ordnung nicht zur Verfügung stehen.
Zuerst untersucht man die lokale Existenz des isothermischen viskosen Systems. Die lokale Existenz des isothermischen viskosen Systems basiert auf der A-priori-Abschätzung des Hauptteils als parameter-elliptisches System gemischter Ordnung. Um die Abschätzungen zu bekommen, soll insbesondere die Lopatinskii-Shapiro-Bedingung überprüft werden. Außerdem ist das parameter-elliptische System gemischter Ordnung dann lösbar mit Hilfe der Galerkin-Approximation. Mit dem Hauptsatz für parameter-elliptische Randwertprobleme kann man zeigen, daß eine gleichmäßige Beschränkung der dritten Ableitungen existiert. Daraus folgt, daß es eine konvergente Teilfolge der Approximation-Lösungen gibt. Der Grenzwert der Teilfolge im geeigneten Sinne kann dann das isothermische viskose System lösen.
Zunächst untersucht man die globale Existenz und das exponentielle Abklingen der lokalen Lösungen auf einem Torus. Die hauptsächlichen Schritte zum Beweis bestehen aus Umformulierungen, A-priori-Abschätzungen und Verwendung der "Continuity Arguments."
Im letzten Teil der Dissertation analysiert man die lokale Existenz des nicht-isothermischen viskosen Systems. Hier benutzt man die Annahme, daß der Anfangswert der Stromdichte, der Gradient des Anfangswerts der Teilchendichte und Energiedichte genügend klein sind. In diesem Fall kann man eine gleichmäßige Beschränkung der Approximation-Lösungen des nicht-isothermischen viskosen Systems bekommen, mit der Hilfe von A-priori-Abschätzungen der Lösung der isothermischen Gleichungen. Eine weitere Analyse des Grenzwerts der entsprechenden Approximations-Lösungen bietet eine lokale Lösung. Für den nicht-isothermischen Fall stehen kaum analytische Erkenntnisse zur Verfügung. Der Nachweis der lokalen Existenz von Lösungen bei geeigneten Randbedingungen ist dann ein großer Fortschritt gegenüber der jetzigen Situation.

Zusammenfassung in einer weiteren Sprache

In this dissertation, we analysis the equations of multi-dimensional viscous model of quantum hydrodynamics (henceforth referred to as QHD) for semiconductors. The whole work will focus on investigations of three analytic results.
First we study the local existence of solutions to the isothermal viscous QHD model. The difficulty consists in dealing with the equations involving third-order derivatives. Here we will overcome this difficulty by using the a-priori estimates of the BVPs of mixed-order. Precisely, we check that the
corresponding linear matrix operator is elliptic with parameter in certain closed sector in the complex plane with vertex at the origin. Then the a-priori estimates provide an estimation of the third order derivative. This will lead to a uniform bounds of the approxiamte solutions. Then we study the limits of the approximate solutions from contraction and compactness arguments to get a local solution.
Next, we obtain global existence and asymptotic behavior of solutions to the isothermal viscous QHD on a torus. We consider the situation when the doping profile of background charges is a positive constant and the initial data is close to the steady state. The main steps consists of some proper reformulations, a-priori estimates and application of the usual continuity argument.
Finally, the local existence and uniqueness of solutions to the non-isothermal equations will be studied. It seems that there are hardly any analytic results for this model in multi-dimensions. We consider the situation when the initial data of the current density, the rate of change of the initial data of the particle density and the energy density, the boundary function of the electrostatic potential are small; and the doping profile of background charges is close to the initial data of the particle density. Under these assumptions and with the help of the a-priori estimates from the isothermal equations we then obtain the uniform bounds of approximate solutions. Then we analysis the limit to derive a local solution.

Fachgebiet (DDC)
510 Mathematik
Schlagwörter
Quantenhydrodynamik, Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen, System von gemischten Ordung, parameter-elliptisch, globale Existenz, partial differential equations, asymptotic behavior, steady-state, existence and uniqueness, a-priori estimates, exponential stability
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Zitieren
ISO 690LIU, Qingzhe, 2009. Solutions to the Multi-Dimensional Viscous Quantum Hydrodynamic Equations for Semiconductors [Dissertation]. Konstanz: University of Konstanz
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July 27, 2009
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