Archimedean Quadratic Modules : A Decision Problem for Real Multivariate Polynomials

Wagner, Sven

Archimedean Quadratic Modules : A Decision Problem for Real Multivariate Polynomials

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Dissertation_Wagner.pdf(572.54 KB)

Date

2009

Authors

Wagner, Sven

Title in another language

Archimedische quadratische Moduln: Ein Entscheidungsproblem für reelle Polynome in mehreren Variablen

Publication type

Dissertation

Abstract

Wir zeigen die Entscheidbarkeit der Archimedizität eines endlich erzeugten quadratischen Moduls im Ring aller reellen Polynome in mehreren gegebenen Veränderlichen. Letzteres ist äquivalent zu der Frage, ob die von endlich vielen gegebenen reellen Polynomen erzeugte abgeschlossene semialgebraische Menge beschränkt ist, und ob jedes auf dieser Menge strikt positive reelle Polynom eine Darstellung als Summe von Quadraten, die mit den gegebenen Polynomen gewichtet sein können, besitzt. Dafür verschärfen wir die 2001 von T. Jacobi und A. Prestel gefundene bewertungstheoretische Charakterisierung dieser Frage. Diese Verschärfung wurde durch einen Satz von H.W. Schülting aus dem Jahre 1986 inspiriert, für den wir einen neuen Beweis angeben, der bewertungstheoretische und modelltheoretische Methoden vereint und dafür auf tiefliegende Resultate (eingebettete Auflösung von Singularitäten) aus der Algebraischen Geometrie verzichten kann.

Summary in another language

We show that it is possible to decide whether a finitely generated quadratic module in the ring of all real polynomials in several given variables is archimedean. The latter is equivalent to the question whether the closed semialgebraic set generated by finitely many given real polynomials is bounded and whether every real polynomial which is strictly positive on this set admits a representation as a sum of squares which may be weighted by the given polynomials. To show this we strengthen the valuation theoretic characterization of this question that was given by T. Jacobi and A. Prestel in 2001. This strengthening was inspired by a theorem of H.W. Schülting from 1986. We give a new proof for this theorem which combines valuation theoretic and model theoretic methods and thus avoids using deep results (embedded resolution of singularities) from algebraic geometry.

Subject (DDC)

510 Mathematics

Keywords

Real Algebra,Valuation Theory,Model Theory,Recursion Theory,Decidability

Cite This

ISO 690

WAGNER, Sven, 2009. Archimedean Quadratic Modules : A Decision Problem for Real Multivariate Polynomials [Dissertation]. Konstanz: University of Konstanz

BibTex

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Examination date of dissertation

November 5, 2009