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Analysis of Lattice-Boltzmann Methods : Asymptotic and Numeric Investigation of a Singularly Perturbed System

Analysis of Lattice-Boltzmann Methods : Asymptotic and Numeric Investigation of a Singularly Perturbed System

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Prüfsumme: MD5:1cd648f6010d4596bb8cbde493ace5a3

RHEINLÄNDER, Martin Kilian, 2007. Analysis of Lattice-Boltzmann Methods : Asymptotic and Numeric Investigation of a Singularly Perturbed System

@phdthesis{Rheinlander2007Analy-505, title={Analysis of Lattice-Boltzmann Methods : Asymptotic and Numeric Investigation of a Singularly Perturbed System}, year={2007}, author={Rheinländer, Martin Kilian}, address={Konstanz}, school={Universität Konstanz} }

2007 eng 2011-03-22T17:44:48Z deposit-license application/pdf Analyse von Gitter-Boltzmann Methoden. Asymptotische und Numerische Untersuchung eines singulär gestörten Systems Analysis of Lattice-Boltzmann Methods : Asymptotic and Numeric Investigation of a Singularly Perturbed System 2011-03-22T17:44:48Z Rheinländer, Martin Kilian Gitter-Boltzmann Methoden stellen eine verhältnismäßig neue Klasse numerischer Verfahren dar zur Lösung evolutionsartiger partieller Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Standardmethoden aus dem Bereich der finiten Differenzen bzw. finiten Elemente realisieren Gitter-Boltzmann Verfahren einen mesoskopischen (kinetischen) Ansatz. Die Kernidee besteht darin, eine gitterbasierten Pseudo-Teilchendynamik zu formulieren. Es stellt sich dabei heraus, daß gewisse gemittelte Größen die Lösungen bestimmter Differentialgleichungen approximieren, welche vor allem einem strömungsmechanischen Hintergrund entstammen. Allerdings ist die Konsistenz der Gitter-Boltzmann Verfahren keineswegs offensichtlich, nicht zuletzt weil sie in enger Beziehung zu singulär skalierten Boltzmanngleichungen mit endlichen Geschwindigkeitsmodellen stehen.<br />Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse von Gitter-Boltzmann Verfahren. Besonderes Augenmerk gilt dabei einigen 'numerischen Phänomenen' wie dem Auftreten von Anfangsschichten, der Existenz mehrerer Zeitskalen und dem Zustandekommen von Randschichten. Beim Konsistenznachweis dienen reguläre asymptotische Entwicklungen (Hilbert Entwicklungen)als zentrales Hilfsmittel. Beispielhaft werden Gitter-Boltzmann Algorithmen in einer Raumdimension mit zwei und drei Populationen untersucht. Dabei wird zunächst gezeigt, wie sich diese Modellalgorithmen zur Diskretisierung der Advektions-Diffusions Gleichung aus<br />zweidimensionalen Algorithmen unter Ausnutzung spezieller Symmetrieeigenschaften ergeben.<br />Der Analyse der eigentlichen Schemata vorangestellt ist eine Untersuchung des singulären Grenzwerts bei einer Boltzmanngleichungen mit zwei bzw. drei Geschwindigkeiten. Alternativ lassen sich hier Konvergenzbeweise mittels einer Fourier-Entwicklung bzw. einer allgemeinen regulären Entwicklung kombiniert mit einer Energieabschätzung erzielen. Anfangsschichten werden mittels irregulärer Entwicklungen bzw. Multiskalen-Entwicklungen aufgelöst. Unter anderem stößt man dabei auf eine Hierarchie von Gleichungen, welche Aufschluß über die interne Kopplung der Anfangsschicht mit dem regulären Teil der Lösung geben.<br />Anschließend wird die Konsistenz der Modellalgorithmen betrachtet, gefolgt von einer Stabilitätsanalyse. Neben etlichen Stabilitätsbeweisen (woraus Konvergenz der jeweiligen Verfahren gefolgert werden kann) wird das Spektrum des diskreten Evolutionsoperators einer genauen Untersuchung unterzogen. Darauf aufbauend läßt sich zeigen, daß sich die CFL-Bedingung sowie Stabilität im Falle eines Zwei-Populationen Algorithmus für die Advektionsgleichung gegenseitig bedingen. Au\ss erdem wird die Möglichkeit erörtert, inwieweit verläßliche Stabilitätsaussagen auch anhand einer formalen Analyse gewonnen werden können.<br />Um Erfahrung mit numerischen Randschichten für zukünftige Untersuchungen zu sammeln, wird abschließend eine finite Differenzen Diskretisierung für die eindimensionale Poisson Gleichung betrachtet, welche eine Randschicht erzeugt. Rheinländer, Martin Kilian

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