Analysis of Lattice Boltzmann Boundary Conditions

Abstract

In dieser Arbeit werden Konsistenz, Konvergenz und Randbedingungen für eine Klasse von Gitter-Boltzmann Verfahren behandelt, welche im wesentlichen zur numerischen Lösung strömungsdynamischer Gleichungen wie der Navier-Stokes Gleichung eingesetzt werden. Insbesondere stehen Randbedingungen vom Dirichlet bzw. Neumann Typ im Mittelpunkt.Die Konsistenzanalyse basiert auf einer asymptotischen Entwicklung der Numerischen Gitter-Boltzmann Lösung. Dabei wird die numerische Lösung durch eine abgeschnittene reguläre Entwicklung approximiert, anhand derer sich die Verbindung zur Navier-Stokes Gleichung herstellen lässt. Zunächst wird die Konsistenzanalyse zur Untersuchung von Anfangsbedingungen und der bekannten Bounce-back Randbedingung herangezogen und beispielhaft erläutert. Es stellt sich heraus, dass der analytische Zugang eine zuverlässige Vorhersage der Genauigkeit (Konvergenzordnung) des Gitter-Boltzmann Verfahrens ermöglicht.Die theoretischen Untersuchungen werden durch einen Konvergenzbeweis für das Gitter-Boltzmannverfahren abgerundet. Dabei werden neben periodischen Randbedingungen auch die klassischen Bounce-back Randbedingungen betrachtet.Im anwendungsorientierten Teil werden verschiedene, bereits existierende Umsetzungen der Dirichlet Randbedingung in Bezug auf Konsistenz und sonstige Vor- und Nachteile verglichen. Dies führt zur Konstruktion einer neuen, lokalen (Ein-Knoten) Randbedingung, welche die Schwächen anderer Randbedingungen überkommt, ohne wesentliche Vorteile einzubüssen. Konsistenzanalysen und numerische Test zeigen, dass alle Randbedingungen von zweiter Approximationsgüte im Geschwindigkeitsfeld sind, während der Druck nur mit erster Genauigkeitsordnung berechnet werden kann. Ergänzend werden Tests zur Stabilität und Massenerhaltung der Randbedingungen durchgeführt.Trotz ihrer praktischen Bedeutung sind Ausfluss bedingungen für die Navier-Stokes Gleichung bisher kaum in der Gitter-Boltzmann Literatur diskutiert worden. Zur Umsetzung dieser Neumann-artigen Randbedingungen werden hier drei verschiedene Ansätze verfolgt: die gewöhnliche Neumannbedingung, die Bedingung verschwindender Normalspannung sowie die "do-nothing" Bedingung. Anhand numerischer Simulationen stationärer und transienter Kanalströmungen (mit feststehendem Hindernis) werden die Bedingungen erprobt. Während im stationären Falle alle Randbedingungen zufriedenstellende Resultate liefern, überzeugen allein die beiden letzteren bei zeitabhängigen Strömungen.