Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen aus der mathematischen Physik

Abstract

Die analytische Beschreibung des Glasübergangs einer unterkühlten Flüssigkeit basierend auf der Modenkopplungstheorie führt zu Anfangswertproblemen gewöhnlicher Integro-Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu reinen Integralgleichungen z. B. vom Volterra-Typ bzw. zu Integro-Differentialgleichungen wie sie bislang in der mathematischen Literatur Beachtung fanden, werden diese Gleichungen durch einen Gedächtnisterm in Form einer Faltung charakterisiert, in dem beide Faktoren lösungsabhängig sind. Im ersten Teil dieser Arbeit werden Probleme dieser Art hinsichtlich Wohlgestelltheit und dem Langzeitverhalten von Lösungen untersucht. Dabei werden sowohl neue Klassen von Kernfunktionen, als auch Übertragungen auf physikalisch relevante mehrparametrige Probleme, auf Systeme mit komplexwertigen Gleichungen und Blow-up-Phänomene vorgestellt.Im zweiten Teil der Arbeit werden gewisse Klassen partieller Integro-Differentialgleichungen mit Faltungen in der Zeitvariablen behandelt, wobei zunächst Gleichungen mit ortsunabhängigen Kernen behandelt werden. Es werden Ergebnisse zu Wohlgestelltheit und Langzeitverhalten von Lösungen unter Kleinheitsbedingungen an die Daten präsentiert. Aufbauend darauf werden diese Resultate auf Probleme mit ortsabhängigen Kernen erweitert. Dazu werden Eigenschaften von Verknüpfungen und Produkten von Funktionen in geeigneten Funktionenräumen bewiesen.