Data adaptive wavelet methods for Gaussian long-memory processes

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2012
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Dissertation
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Zusammenfassung

In this thesis, we investigate some adaptive wavelet approaches for a so-called nonparametric regression model with strongly dependent Gaussian residuals. At first, we discuss data adaptive wavelet estimation of a trend function. It turns out that under certain smoothing conditions on the trend function, the asymptotic rate of the mean integrated square error (MISE) of a trend estimator obtained by a hard wavelet thresholding is the same as for a linear wavelet estimator. Asymptotic expressions for the optimalMISE and corresponding optimal smoothing and resolution parameters are derived. Furthermore, we focus on the non-continuous trend functions and derive corresponding optimal smoothing, resolution and thresholding parameters. Due to adaptation to the properties of the underlying trend function, the approach shows very good performance for piecewise smooth trend functions while remaining competitive with minimax wavelet estimation for functions with discontinuities. It turns out that the same expression for MISE still holds and the hard thresholding wavelet estimator can be understood as a combination of two components, a smoothing component consisting of a certain number of lower resolution levels where no thresholding is applied, and a higher resolution component filtered by thresholding procedure. The first component leads to good performance for smooth functions, whereas the second component is useful for modeling discontinuities. This fact is used to develop an appropriate test for the null hypothesis that the trend is continuous against the alternative that it has at least one isolated jump. The proposed test statistic is based on blockwise resampling of estimated residual variances. Asymptotic validity of the test is derived. Simulations illustrate the asymptotic results and finite sample behavior of the proposed methods.

Zusammenfassung in einer weiteren Sprache

In der vorliegenden Arbeit werden adaptive wavelet-basierte Methoden für nicht parametrische Regressionsmodelle mit langfristig abhängigen Innovationen untersucht. Zunächst beschäftigen wir uns mit der Frage der adaptiven waveletbasierten Trendschätzung. Dabei stellt sich heraus, dass unter gewissen Glattheitsbedingungen an die Trendfunktion die optimale asymptotische Konvergenzrate des mittleren integrierten quadratischen Fehlers des Wavelet-Trendschätzers mit Hard Thresholding der eines linearen Waveletschätzers entspricht. Die asymptotischen Ergebnisse für den mittleren integrierten quadratischen Fehler, sowie die entsprechenden Glättungs- und Zerlegungsparameter werden hergeleitet. Darüber hinaus konzentrieren wir uns auf nichtstetige Trendfunktionen und untersuchen in diesem Zusammenhang die dazugehörigen Parameter. Aufgrund der Anpassung an die Trendfunktion zeigt unser Schätzer gute Resultate auch für stückweise glatte Funktionen und ist mit Minimax-Waveletschätzern sicherlich vergleichbar. Es stellte sich auch heraus, dass das asymptotische Ergebnis für den mittleren integrierten quadratischen Fehler unverändert bleibt. Außerdem kann der Hard Thresholding-Waveletschätzer als lineare Kombination einer Smoothing- und High-Resolution-Komponente dargestellt werden. Die Smoothing-Komponente setzt sich aus niederfrequenten Anteilen zusammen und beinhaltet keine Anwendung der Thresholding Methode. Dagegen besteht die High-Resolution- Komponente aus höheren Frequenzbändern, die mit Thresholding gefiltert sind. Die erste Komponente liefert eine sehr gute Schätzung der glatten Anteile der Trendfunktion, während die zweite überwiegend zur Schätzung der Sprünge geeignet ist. Diese Eigenschaft haben wir uns zunutze gemacht, um einen geeigneten Test zu entwerfen. Dabei wird die Stetigkeit der Trendfunktion gegen die Alternative, dass die Funktion mindestens einen isolierten Sprung besitzt, getestet. Die vorgeschlagene Teststatistik basiert auf Blockwise Resampling der Varianzen der geschätzten Residuen. Die asymptotische Konsistenz des Tests wird bewiesen. Eine empirische Untersuchung der vorgeschlagenen Methoden illustriert deren Verhalten für endliche Stichproben.

Fachgebiet (DDC)
310 Statistik
Schlagwörter
Hard thresholding, Smoothing-High-Resolution, Wavelet, Bootstrap
Konferenz
Rezension
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Zitieren
ISO 690SHUMEYKO, Yevgen, 2012. Data adaptive wavelet methods for Gaussian long-memory processes [Dissertation]. Konstanz: University of Konstanz
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February 28, 2012
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