Publikation: Multivariate Long-Memory Processes and Nonparametric Density Estimation, with Applications to Ridge Detection
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In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit nicht-parametrischer Schättzung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und deren Ableitungen für multivariate lineare Long-Memory-Prozesse. Die Ergebnisse werden angewandt, um simultane Konfidenzregionen für die Ridges von Dichtefunktionen zu konstruieren. Nach einer kurzen Motivation wird der theoretische Rahmen zur Analyse von multivariaten Long-Memory-Prozessen dargestellt. Ridges werden als Verallgemeinerung von lokalen Maxima eingeführt und ihre Rolle in der topologischen Statistik wird kurz erläutert. Um den Ridge einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu schätzen, werden asymptotische Resultate für Kerndichteschätzer und deren Ableitungen hergeleitet. Das Hauptwerkzeug ist eine multivariate Erweiterung des gleichmäßigen Reduction Principles für lineare Long-Memory-Prozesse. Dazu wird die asymptotische Verteilung des empirischen Prozesses hergeleitet und schwache Konvergenz zu einem degenerierten Gauß-Prozess mit Erwartungswert Null gezeigt. Dies führt zu asymptotischen Resultaten für multivariate Kerndichteschätzer und ihren Ableitungen. Unter Long-Memory-Annahmen unterscheidet sich das asymptotische Verhalten für kleine und große Bandbreiten gänzlich: Für kleine Bandbreiten sind die Ergebnisse dieselben wie im Falle von i.i.d. Beobachtungen. Für große Bandbreiten hingegen erhalten wir schwache Konvergenz zu einem degenerierten Grenzprozess. Die Auswirkungen auf die Wahl der Bandbreite werden diskutiert. Die Erkennung von Ridge-Punkten beinhaltet das Überprüfen von Bedingungen an den Gradienten und die Eigenvektoren sowie die Eigenwerte der Hesse-Matrix der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Da sich der funktionale Grenzwertsatz auf die Eigenwerte und Eigenvektoren der geschätzten Hesse-Matrix überträgt, bringt eine Kombination dieser Ergebnisse schwache Konvergenz des geschätzten Ridges mit sich. Dies ermöglicht die vergleichsweise einfache Konstruktion von asymptotischen Konfidenzregionen. Numerische Beispiele illustrieren die Ergebnisse.
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ISO 690
TELKMANN, Klaus, 2018. Multivariate Long-Memory Processes and Nonparametric Density Estimation, with Applications to Ridge Detection [Dissertation]. Konstanz: University of KonstanzBibTex
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