Publikation: Sparse grid stochastic collocation for partial differential equations with random data as constraint for optimal control problems
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In dieser Arbeit werden wir zufällige Koeffizienten für elliptische zeitunabhängige und parabolische zeitabhängige partielle Differentialgleichungen annehmen. Das allgemeine Problem ist L(a)(u) = f, wobei a oder f stochastisch sein können, und das Ziel ist, u so zu finden, dass die Gleichung für alle ω ∈ Ω a.s. gilt. Um das Problem auf einen endlichen (N ∈ N)-dimensionalen Zufallsraum ΓN ⊂ Ω zu transformieren, werden wir eine trunkierte Karhunen-Loève-Expansion zur Approximation von Zufallsfeldern verwenden. Die Finite-Elemente-Methode wird verwendet, um die physikalische Variable x ∈ D zu behandeln, und diese wird mit der stochastischer Kollokation auf dünnen Gittern im Wahrscheinlichkeitsraum ΓN kombiniert, um einen geeigneten Produktraum zu erzeu- gen. Der Smolyak-Algorithmus wird zur Interpolation über die Zufallsvariablen an den Punkten des dünnen Gitters verwendet. Die Vorteile und Grenzen der Lösung solcher Probleme mit Hilfe von stochastischen Kollokationsmethoden mit dünnen Gittern werden untersucht und mit der bekannten MCs Methode verglichen.
Letztlich sind wir an einer numerischen Approximation uˆ von u auf Ω × D (respektive [0, T ]×Ω×D) der Lösung unseres Problems interessiert. Eine der größten Herausforderun- gen besteht darin, einen numerisch effizienten und praktikablen Lösungsraum zu finden. Das Ziel einer solchen Approximation ist es, Erkenntnisse über bestimmte statistische oder physikalische Größen ψ(uˆ) zu gewinnen. Ein Beispiel für solche ψ(uˆ) ist der Durch- schnittswert in einem bestimmten physikalischen (Teil-)Raum oder bestimmte statistische Momente. Im letzten Teil dieser Arbeit wird diese Methode auf optimale Steuerungsprob- leme ausgedehnt, die solche PDEs als Nebenbedingung zur Minimierung eines bestimmten Funktionals haben. Dieser dünne Gitter Ansatz kann dann in jeder Iteration einer Gradi- entenmethode verwendet werden, um eine sinnvolle Steuerung zu finden. Um das Thema der stochastischen Optimierung abzurunden, befasst sich das letzte Kapitel mit einem op- timalen Steuerungsproblem, das an zeitabhängige Zufälligkeiten gebunden ist, und auch hier wird eine Gradientenmethode verwendet, um eine minimierende Steuerung zu finden.
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ISO 690
REIHN, Maximilian, 2023. Sparse grid stochastic collocation for partial differential equations with random data as constraint for optimal control problems [Master thesis]. Konstanz: Universität KonstanzBibTex
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