A Nonparametric Regression Spectrum : Estimation, Asymptotic Properties and Data Analysis

Abstract

In der Statistik befasst sich die klassische Spektralanalyse mit der frequenzabhängigen Zerlegung von stationären Prozessen. Die Autokovarianzfunktion sowie das Spektrum sind wesentliche Elemente, um eine gegebene Zeitreihe sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich zu analysieren. In praktischen Anwendung hingegen werden häufig nichtstationäre Zeitreihen beobachtet. Um die Methoden der Spektralschätzung auch für diese Fälle nutzbar zu machen, ist es notwendig, eine Verallgemeinerung der vorhandenen Theorie zu entwickeln. In dieser Arbeit werden Abhängigkeitsstrukturen in multivariaten Zeitreihen betrachtet, die auf den Einfluss deterministischer Komponenten zurückzuführen sind. Wesentliches Ziel dabei ist es, die Theorie der klassischen Spektralschätzung auf nichtparametrische deterministische Trendfunktionen auszuweiten. In der nichtparametrischen Regression sind diese Funktionen normalerweise unbekannt und müssen geschätzt werden. Dafür wenden wir Wavelet Thresholding an, eine einfache und dennoch effiziente Methode, um ein Signal von unbekannter Regularität aus einer durch Störungen überlagerten Zeitreihe zu schätzen. Kapitel 2 bietet einen Überblick über Wavelets und ihre Anwendungen in der Statistik. Dies beinhaltet die Konstruktion orthonormaler Basen von Waveletfunktionen mit kompaktem Träger, die Wavelettransformation einer quadratisch integrierbaren Funktion und die Anwendung von Wavelets in der linearen und nichtlinearen Schätzung einer Mittelwertsfunktion. Im Anschluss diskutieren wir einige Fragen zu Konvergenzgeschwindigkeiten in der linearen und nichtlinearen Trendschätzung und geben einen umfangreichen Überblick über die Literatur im Bereich des Wavelet Thresholding. Kapitel 3 befasst sich mit Abhängigkeitsstrukturen in multivariaten Zeitreihen, die auf die Existenz von deterministischen Trendkomponenten zurückzuführen sind. Dabei werden Resultate aus dem Bereich der Spektralanalyse für stationäre Zeitreihen auf die Theorie der deterministischen Funktionen ausgeweitet. Wir definieren eine Regressionskovarianz sowie ein Regressionsspektrum und schätzen diese Größen basierend auf Wavelets. In Kapitel 4 befassen wir uns mit einer alternativen Schätzmethode für das Regressionsspektrum, die auf dem klassischen Periodogramm beruht. Wir definieren ein modifiziertes Periodogramm, dass im Unterschied zur Theorie stationärer Prozesse ohne eine Glättung über benachbarte Frequenzen eine konsistente Schätzung des Spektrums erlaubt. Eine Herleitung der asymptotischen Eigenschaften sowie ein Vergleich zur vorherigen Schätzmethode beschließen das Kapitel. Kapitel 5 untersucht die Schätzung von zeitlichen Verschiebungen in multivariaten deterministischen Funktionen. Die Benutzung der Regressionskreuzkovarianz erweist sich dabei als hilfreiche Alternative zur Schätzung von Abhängigkeitsstrukturen, wenn z.B. durch eine zu geringe Anzahl von gemeinsamen Frequenzen im Signal die Verwendung des Spektrums als unmöglich erscheint. Verschiedene Beispiele aus den Bereichen Biologie, Medizin, Klimaforschung sowie der Finanzwissenschaft werden in Kapitel 6 vorgestellt. Diese illustrieren die praktische Bedeutung und Anwendbarkeit der theoretisch entwickelten Methoden. Einige abschließende Bemerkungen finden sich in Kapitel 7.