A Nonparametric Regression Spectrum : Estimation, Asymptotic Properties and Data Analysis

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2007
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Heiler, Mark
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Ein nichtparametrisches Regressionsspektrum: Schätzung, asymptotische Eigenschaften und Datenanalyse
Forschungsvorhaben
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Zeitschriftenheft
Publikationstyp
Dissertation
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Zusammenfassung

In der Statistik befasst sich die klassische Spektralanalyse mit der frequenzabhängigen Zerlegung von stationären Prozessen. Die Autokovarianzfunktion sowie das Spektrum sind wesentliche Elemente, um eine gegebene Zeitreihe sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich zu analysieren. In praktischen Anwendung hingegen werden häufig nichtstationäre Zeitreihen beobachtet. Um die Methoden der Spektralschätzung auch für diese Fälle nutzbar zu machen, ist es notwendig, eine Verallgemeinerung der vorhandenen Theorie zu entwickeln. In dieser Arbeit werden Abhängigkeitsstrukturen in multivariaten Zeitreihen betrachtet, die auf den Einfluss deterministischer Komponenten zurückzuführen sind. Wesentliches Ziel dabei ist es, die Theorie der klassischen Spektralschätzung auf nichtparametrische deterministische Trendfunktionen auszuweiten. In der nichtparametrischen Regression sind diese Funktionen normalerweise unbekannt und müssen geschätzt werden. Dafür wenden wir Wavelet Thresholding an, eine einfache und dennoch effiziente Methode, um ein Signal von unbekannter Regularität aus einer durch Störungen überlagerten Zeitreihe zu schätzen. Kapitel 2 bietet einen Überblick über Wavelets und ihre Anwendungen in der Statistik. Dies beinhaltet die Konstruktion orthonormaler Basen von Waveletfunktionen mit kompaktem Träger, die Wavelettransformation einer quadratisch integrierbaren Funktion und die Anwendung von Wavelets in der linearen und nichtlinearen Schätzung einer Mittelwertsfunktion. Im Anschluss diskutieren wir einige Fragen zu Konvergenzgeschwindigkeiten in der linearen und nichtlinearen Trendschätzung und geben einen umfangreichen Überblick über die Literatur im Bereich des Wavelet Thresholding. Kapitel 3 befasst sich mit Abhängigkeitsstrukturen in multivariaten Zeitreihen, die auf die Existenz von deterministischen Trendkomponenten zurückzuführen sind. Dabei werden Resultate aus dem Bereich der Spektralanalyse für stationäre Zeitreihen auf die Theorie der deterministischen Funktionen ausgeweitet. Wir definieren eine Regressionskovarianz sowie ein Regressionsspektrum und schätzen diese Größen basierend auf Wavelets. In Kapitel 4 befassen wir uns mit einer alternativen Schätzmethode für das Regressionsspektrum, die auf dem klassischen Periodogramm beruht. Wir definieren ein modifiziertes Periodogramm, dass im Unterschied zur Theorie stationärer Prozesse ohne eine Glättung über benachbarte Frequenzen eine konsistente Schätzung des Spektrums erlaubt. Eine Herleitung der asymptotischen Eigenschaften sowie ein Vergleich zur vorherigen Schätzmethode beschließen das Kapitel. Kapitel 5 untersucht die Schätzung von zeitlichen Verschiebungen in multivariaten deterministischen Funktionen. Die Benutzung der Regressionskreuzkovarianz erweist sich dabei als hilfreiche Alternative zur Schätzung von Abhängigkeitsstrukturen, wenn z.B. durch eine zu geringe Anzahl von gemeinsamen Frequenzen im Signal die Verwendung des Spektrums als unmöglich erscheint. Verschiedene Beispiele aus den Bereichen Biologie, Medizin, Klimaforschung sowie der Finanzwissenschaft werden in Kapitel 6 vorgestellt. Diese illustrieren die praktische Bedeutung und Anwendbarkeit der theoretisch entwickelten Methoden. Einige abschließende Bemerkungen finden sich in Kapitel 7.

Zusammenfassung in einer weiteren Sprache

Classical spectral analysis in statistics considers decomposition of stationary time series into sinusoidal components. The autocovariance and the spectrum are fundamental elements for analyzing a given time series both in time and frequency domain. However, in practice one frequently observes nonstationary time series. In order to apply spectral analysis to these processes, an extension of the classical spectral theory to more general situations is required. This thesis investigates dependence structures in multivariate time series that are characterized by deterministic trends. Here, we extend the theory of stationary processes to deterministic nonparametric trend functions. In a nonparametric regression setting these functions are usually unknown and have to be estimated. Estimation of the trend function will be performed by applying wavelet thresholding, a simple but yet efficient way to recover a signal of unknown regularity from some noisy data. Chapter 2 presents a review about wavelets and their use in statistics. This involves construction of compactly supported wavelet bases, wavelet transformation of a square integrable function and the application in linear and nonlinear function estimation. An extensive review of the literature on wavelet thresholding is presented and some asymptotic results are derived. In chapter 3, we consider dependence structures in multivariate time series that are due to similarities in underlying deterministic trends. Results from spectral analysis for stationary processes are extended to deterministic trend functions. A regression cross covariance and spectrum are defined. Estimation of these quantities is based on wavelet thresholding. An algorithm is presented that automatically estimates common frequency components and possible lead-lag effects in multivariate time series. A small simulation study illustrates the theoretical results. Chapter 4 is concerned with a direct estimation of the regression spectrum based on the classical periodogram. We present a modification of the periodogram that results in consistent estimation of the regression spectrum. In contrast to spectral estimation of stationary time series no further smoothing of the periodogram over neighboring frequencies is required. Furthermore, asymptotic normality of the modified periodogram is proved and the results are compared to those of chapter 3. Chapter 5 investigates lag estimation in time domain by analyzing the maximizing lag of the regression cross covariance. Asymptotic properties of the estimator are derived and illustrated with a small simulation study. This method proves to be particularly useful in situations where application of the cross spectrum seems to be inadequate, e.g. if the amount of common frequencies in a multivariate signal is small or the contribution of the noise relative to the signal in the time series is too large. Several examples in biology, climatology and finance are given in chapter 6. They emphasize the practical importance of the present work for various fields of research. The thesis ends with some concluding remarks in chapter 7.

Fachgebiet (DDC)
310 Statistik
Schlagwörter
Kreuzspektrum, Wavelets, Regressionsspektrum, Thresholding, nonparametric trend estimation, cross spectrum, wavelets, regression spectrum, threshold estimator
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Zitieren
ISO 690HEILER, Mark, 2007. A Nonparametric Regression Spectrum : Estimation, Asymptotic Properties and Data Analysis [Dissertation]. Konstanz: University of Konstanz
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May 22, 2007
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