A Picard-type Iteration for Backward Stochastic Differential Equations : Convergence and Importance Sampling

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2010
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Eine Iteration vom Picard-Typ für stochastische Rückwärts-Differentialgleichungen
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Dissertation
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Zusammenfassung

We consider a numerical scheme for backward stochastic differential equations which avoids nested conditional expectations backward in time.
In the first part we develop a variance reduced variant of the Picard-type scheme of C. Bender and R. Denk. This is in particular useful to compute more stable estimators for initial prices of option with nonstandard exercise features. We derive a directly implementable algorithm using importance sampling and prove convergence.
The second part of the thesis is devoted to a modification of the scheme C. Bender and R. Denk. We assume to have a bounded driver and a bounded terminal condition and prove an L²-error bound depending on the parameters which can be chosen by a user. These are in detail the number of Monte Carlo simulations, the time step size and the number of basis function used for projections.
Finally, we present in the third part numerical examples illustrating the effects of the importance sampling method and also test the application of nonparametric regression for the approximation of backward stochastic differential equations.

Zusammenfassung in einer weiteren Sprache

Wir betrachten in der vorliegenden Arbeit ein numerisches Verfahren für stochastische Rückwärts-Differentialgleichungen, welches verschachtelte bedingte Erwartungswerte rückwärts in der Zeit vermeidet.
Im ersten Teil entwickeln wir eine varianzreduzierte Variante des Schemas vom Picard-Typ von C. Bender und R. Denk. Diese ist insbesondere hilfreich, um stabilere Schätzer für den Preis von Optionen zu berechnen, deren Auszahlungsfunktion nicht standardmäßig ist. Wir leiten dazu einen direkt implementierbaren Algorithmus her, der das sogenannte Importance sampling benutzt und beweisen dessen Konvergenz.
Der zweite Teil der Arbeit ist einer Modifikation des Schemas von C. Bender und R. Denk gewidmet. Wir nehmen an, dass der Treiber und die Endbedingung der Rückwärtsgleichung beschränkt sind und bestimmen eine L²-Fehlerschranke, die von den Parametern abhängt, die ein Benutzer des Algorithmus selbst wählen kann. Genauer gesagt sind dies die Anzahl der Monte Carlo Simulationen, die Zeitschrittweite und die Anzahl der Basisfunktionen, die zur Projektion benutzt werden.
Schließlich zeigen wir im dritten Teil numerische Beispiele, die die Auswirkungen der Importance sampling Methode illustrieren. Desweiteren testen wir die direkte Anwendbarkeit nichtparametrischer Regression zur Approximation stochastischer Rückwärts-Differentialgleichungen.

Fachgebiet (DDC)
510 Mathematik
Schlagwörter
Backward stochastic differential equation, Numerics, Monte Carlo simulation
Konferenz
Rezension
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Zitieren
ISO 690MOSELER, Thilo, 2010. A Picard-type Iteration for Backward Stochastic Differential Equations : Convergence and Importance Sampling [Dissertation]. Konstanz: University of Konstanz
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Prüfungsdatum der Dissertation
June 10, 2010
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