POD zur Optimalsteuerung linearer partieller Differentialgleichungen

Abstract

Viele Vorgänge in den Naturwissenschaften, in den Ingenieurwissenschaften, aber auch in den Wirtschaftswissenschaften und in medizinischen Anwendungen lassen sich durch Systeme von partiellen Differentialgleichungen beschreiben. Diese Differentialgleichungssysteme sind in der Regel nichtlinear, gekoppelt und beinhalten oft sehr viele Parameter(-funktionen), die geeignet zu wählen sind, um zu garantieren, dass die realen Prozesse hinreichend genau nachgebildet werden. Da meistens nicht alle Parameter bekannt oder messbar sind, werden oft Methoden der Parameterschätzung eingesetzt. Diese Verfahren benötigen in der Regel viele Simulationen des gegebenen Differentialgleichungssystems. In anderen Anwendungen möchte man die Systeme partieller Differentialgleichungen durch eine Steuerung so beeinflussen, dass ein gewünschtes Verhalten erzeugt wird. Dieses führt auf ein sogenanntes Optimalsteuerungsproblem, dass das Lösen von einer nichtlinearen Optimierungsaufgabe erfordert, bei der das Differentialgleichungssystem als Nebenbedingung auftritt. Will man noch Störungen in den Daten beziehungsweise im Modell berücksichtigen, so sind Rückkopplungs- oder Feedbacksteuerungen zu berechnen, was das Lösen mehrerer Optimierungsprobleme erfordert. Alle diese Aufgabenstellungen führen bei der Verwendung klassischer Diskretisierungsverfahren (wie zum Beispiel die Finite-Elemente-, Finite- Differenzen- oder Finite-Volumen-Methode) auf sehr hochdimensionale, nichtlineare diskrete Probleme, deren numerische Behandlung sehr aufwendig beziehungsweise derzeit noch nicht möglich ist (als Beispiel sei hier die Feedbacksteuerung mit der Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung genannt). Aus diesem Grund sind unterschiedliche Techniken der Modellreduktion entwickelt worden, um hochdimensionale Optimalsteuerprobleme durch niedrigdimensionale zu approximieren, die mit weniger Aufwand (oder überhaupt) numerisch lösbar sind. Heute existiert eine Reihe erfolgreicher Techniken der Modellreduktion wie Balanced Truncation, Moment Matching, Reduced-Basis-Methode oder Proper Orthogonal Decomposition (POD), die im Weiteren kurz beschrieben werden.