Numerical and theoretical analysis of neural networks to solve differential equations

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2020
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Die Bedeutung von Differentialgleichungen ist wegen ihrer allgegenwärtigen Relevanz in allen Bereichen der Optimierung und Physik unbestreitbar. Um Differentialgleichungen zu lösen ist es wichtig die Vor- und Nachteile bestimmter Methoden zu berücksichtigen. Die Methoden unterscheiden sich in der Qualität der Lösung, im Rechenaufwand und unter anderem ob die Lösung diskretisiert oder stetig ist. In dieser Arbeit wird eine Methode und die entsprechende Theorie vorgestellt, die eine stetige Lösung von Differentialgleichungen unter Verwendung etablierter Machine Learning Verfahren liefert. Die Arbeit beginnt damit die zugrundeliegende Theorie zu etablieren, welche beschreibt wie neuronale Netzwerke fähig sind stetige Funktionen zu approximieren. Anschließend werden die mathematische Form von neuronalen Netzwerken und zugehörige theoretische Eigenschaften vorgestellt. Die universelle Approximationsfähigkeit wird theoretisch durch den Beweis gezeigt, dass neuronale Netzwerke mit einer einzigen ’Hidden Layer’ und einer Aktivierungsfunktion σ ∈ C^k(R), dicht ’in compacta’ in C^k([a,b]) liegen, wobei der Schluss gezogen wird, dass jede stetige Funktion durch ein neuronales Netzwerk mit beliebiger Genauigkeit approximiert werden kann. Zur weiteren und intuitiveren Ausarbeitung wird ein Algorithmus verwendet um stetige Funktionen und falls diese differenzierbar sind, auch deren Ableitung zu approximieren. In Kapitel 3 werden stochastische Optimierungsalgorithmen für Machine Learning diskutiert und Änderungen zur Reduzierung der Rechenkosten unter Verwendung eines stochastischen Ansatzes unter Beibehaltung der für solche Aufgaben erforderlichen Genauigkeit vorgestellt. Im letzten Teil dieser Arbeit wird eine numerische Methode erläutert und die Ergebnisse diskutiert sowie mit der bekannten Runge-Kutta Methode verglichen. Schließlich wird in Kapitel 5 ein Ausblick gegeben, wie die Methode weiter verwendet und optimiert werden kann.

Fachgebiet (DDC)
510 Mathematik
Schlagwörter
Neuronale Netzwerke, Differentialgleichungen
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ISO 690REIHN, Maximilian, 2020. Numerical and theoretical analysis of neural networks to solve differential equations [Bachelor thesis]. Konstanz: Universität Konstanz
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Konstanz, Universität Konstanz, Bachelorarbeit, 2020
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